Question

在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax²+c与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C（0，2

3

），线段AC上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，线段AB上有另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，两动点同时出发，设运动时间为t秒．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出对应的t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用等定系数法求出抛物线的解析式即可，
（2）先求出AO，OC和AC，分两种情况①若∠APQ=90° 则cos∠CAO=cos∠PAQ，②若∠AQP=90°，则cos∠CAO=cos∠PAO，求解．

解答：解：（1）把A（-2，0），C（0，2

3

）代入到y=ax²+c，得
0=4a+2

3

，
解得：a=-

3

2

．
故该抛物线的解析式为：y=-

3

2

x2+2

3

；

（2）在y=-

3

2

x2+2

3

中，
令y=0，则x₁=-2，x₂=2．则B（2，0）．
∵AB=4，
∴AP=t，AQ=4-2t．
∵在Rt△AOC中，AO=2，OC=2

3

，
∴AC=4，
∴cos∠CAO=

AO

AC

=

1

2

；
①如图1，若∠APQ=90°时，则cos∠CAO=cos∠PAQ
∵

1

2

=

AP

AQ

，
∴

1

2

=

t

4-2t

，
∴t=1．
②如图2，若∠AQP=90°时，则cos∠CAO=cos∠PAQ
∵

1

2

=

AQ

AP

，
∴

1

2

=

4-2t

t

，
∴t=

8

5

．
综上所述，当t=1或t=

8

5

时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOC相似．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题．其中涉及到待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质以及二次函数图象上点的坐标特征．注意，解答（2）题时，由于没有指出这组相似三角形的对应角，所以应该分类讨论，以防漏解．