Question

如果我们定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如，如图（1），若PC=PB，则P为△ABC的准外心．
（1）如图（1），观察并思考，△ABC的准外心有

 

个；
（2）如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=

1

2

AB，则∠APB的度数为

 

；
（3）如图（3），直线y=

4

3

x+8点A，交y轴于点B，若点P是△AOB的准外心，且点P在OB上，求点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题,三角形的外接圆与外心

专题：新定义

分析：（1）根据题中的新定义得到到三角形的两个顶点距离相等的点有无数个，即△ABC的准外心有无数个；
（2）根据题意得到三角形PAD与三角形PBD都为等腰直角三角形，进而确定出∠APB的度数；
（3）根据直线与y轴交于点B，确定出B的坐标，分两种情况考虑：（i）若PB=PO，即P为OB中点时，求出P坐标；（ii）若PA=PB，即P为线段AB垂直平分线与y轴交点时，求出P坐标即可．

解答：解：（1）如图（1），观察并思考，△ABC的准外心有无数个；
（2）∵CD为等边三角形ABC的高，
∴AD=BD=

1

2

AB，
∵PD=

1

2

AB，
∴PA=AD=BD，
∵∠PDA=∠PDB=90°，
∴△PAD与△PBD都为等腰直角三角形，
∴∠APD=∠BPD=45°，
∴∠APB=90°；
（3）对于直线y=

4

3

x+8，令x=0，得到y=8；令y=0，得到x=-6，
∴A（-6，0），B（0，8），
分两种情况考虑：
（i）当P₁为线段OB中点时，点P₁是△AOB的准外心，此时P₁坐标为（0，4）；
（ii）当P₂是边AB垂直平分线与y轴交点时，点P₂是△AOB的准外心，
线段AB的垂直平分线方程为y-4=-

3

4

（x+3），
令x=0，得到y=4-

9

4

=

7

4

，此时P₂坐标为（0，

7

4

）．
故答案为：（1）无数；（2）90°．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，弄清题中的新定义是解本题的关键．