Question

【题目】在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q互为“向善点”．如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图．已知点A的坐标为（1，），点B的坐标为（m，0）

（1）在点M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，3）中，与A点互为“向善点”的是_____；

（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；

（3）⊙B的半径为，若⊙B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）S，T．（2）直线AB的解析式为y＝x或y＝﹣x+2；（3）当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；

（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；

（3）分⊙B与直线y=x相切及⊙B与直线y=-x+2相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论．

（1）∵，，

∴点S，T与A点互为“向善点”．

故答案为S，T．

（2）根据题意得：，

解得：m1＝0，m2＝2，

经检验，m1＝0，m2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，

∴点B的坐标为（0，0）或（2，0）．

设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将A（1，），B（0，0）或（2，0）代入y＝kx+b，得：

或，

解得：或，

∴直线AB的解析式为y＝x或y＝﹣x+2．

（3）当⊙B与直线y＝x相切时，过点B作BE⊥直线y＝x于点E，如图2所示．

∵∠BOE＝60°，

∴sin60°＝，

∴OB＝2，

∴m＝﹣2或m＝2；

当⊙B与直线y＝﹣x+2相切时，过点B作BF⊥直线y＝﹣x+2于点F，如图3所示．

同理，可求出m＝0或m＝4．

综上所述：当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．