如图1.矩形OABC的边OA.OC分别在坐标轴上.B点坐标.矩形O′A′B′C′是矩形OABC绕B点逆时针旋转得到的.O′点恰好在x轴的坐标轴上.O′A′交BC于点D．(1)直接填空:①O′的坐标为(2.0),②△O′DB的形状是等腰三角形,(2)如图2.连接O′B将△O′BC′沿x轴负半轴以每秒1个单位长度的速度向左平移.得到△O′B′C′.当C′运动到y轴上时停止平移．设△O� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在坐标轴上，B点坐标（1，$\sqrt{3}$），矩形O′A′B′C′是矩形OABC绕B点逆时针旋转得到的，O′点恰好在x轴的坐标轴上，O′A′交BC于点D．

（1）直接填空：①O′的坐标为（2，0）；②△O′DB的形状是等腰三角形；
（2）如图2，连接O′B将△O′BC′沿x轴负半轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O′B′C′，当C′运动到y轴上时停止平移．设△O′B′C′与矩形OABC重叠部分的面积为S，运动时间为t秒（t＞0），请直接写出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图3，延长BC到点M，使CM=1，在直线A′O′上是否存在点P，使得△POM是以线段OM为直角边的直角三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据等腰三角形三线合一以及全等三角形的性质即可解决问题．
（2）分四种情形）①如图2中，当0＜t≤1时，重叠部分是△MNB′，②如图3中，当1＜t$≤\frac{3}{2}$时，重叠部分是五边形MNHGO′，③如图4中，当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，重叠部分是四边形MNC′O′，④如图5中，当2＜t≤$\frac{5}{2}$时，重叠部分是△MNC′，分别求解即可．
（3）分两种情形讨论即可如图6中，①当∠POM=90°时，②当∠OMP′=90°时．

解答解：（1）①连接OB、O′B，
则OB=O′B，
∵四边形OABC矩形，
∴BC⊥OC，
∴CO=CO′，
∵B点坐标（1，$\sqrt{3}$），
∴OC=1，
∴O′C=1，
∴O′（2，0）；
②如图1中，△O′DB是等腰三角形，

理由是：∵∠A′=∠BCO′=90°，∠A′DB=∠CDO′，A′B=O′C，
∴△BA′D≌△O′CD，
∴BD=DO′，
∴△O′DB是等腰三角形；
故答案为（2，0），等腰三角形．

（2）①如图2中，当0＜t≤1时，重叠部分是△MNB′，

S=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t•t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²．
②如图3中，当1＜t$≤\frac{3}{2}$时，重叠部分是五边形MNHGO′，

S=S_{△A′O′C′}-S_△A′GH-S_△MNC′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$（t-1）²-$\frac{1}{2}$×[1-2（t-2）]×$\frac{\sqrt{3}}{3}$[1-2（t-2）]=-$\sqrt{3}$t²+4$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$．
③如图4中，当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，重叠部分是四边形MNC′O′，

S=S_{△O′B′C′}-S_△MNB′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$（t-1）²=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t+$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
④如图5中，当2＜t≤$\frac{5}{2}$时，重叠部分是△MNC′，

S=$\frac{1}{2}$×[1-2（t-2）]×$\frac{\sqrt{3}}{3}$[1-2（t-2）]=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$t+$\frac{25\sqrt{3}}{6}$．
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}}&{（0＜t≤1）}\\{-\sqrt{3}{t}^{2}+4\sqrt{3}t-4\sqrt{3}}&{（1＜t≤\frac{3}{2}）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}t+\frac{\sqrt{3}}{6}}&{（\frac{3}{2}＜t≤2）}\\{\frac{2\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-\frac{1=\sqrt{3}}{3}t+\frac{25\sqrt{3}}{6}}&{（2＜t≤\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$．

（3）如图6中，存在．

①当∠POM=90°时，∵OC=CM=1，
∴∠COM=45°=∠POC，
∴直线OP解析式为y=x，
∵直线OA的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-1}\\{y=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$-1）．
②当∠OMP′=90°时，易知P′与O′重合，
此时点P′坐标（2，0），
综上所述点P坐标为（2，0）或（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$-1）．