Question

9．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，∠DAC=30°，BD=12
（1）求∠ABC的度数；
（2）求菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质求得∠BAD的度数，再根据平行线的性质，求得∠ABC的度数；
（2）先根据菱形的性质以及勾股定理，求得AC的长，再根据菱形的面积计算公式，求得菱形面积．

解答 解：（1）∵菱形ABCD的两条对角线相交于点O，∠DAC=30°，
∴∠BAD=2∠DAC=60°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-60°=120°；

（2）∵菱形ABCD的两条对角线相交于点O，BD=12，
∴AC⊥BD，DO=$\frac{1}{2}$BD=6，
又∵∠DAC=30°，
∴AD=2DO=12，
∴Rt△AOD中，AO=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴AC=2AO=12$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×AC×BD=$\frac{1}{2}$×12$\sqrt{3}$×12=72$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了菱形的性质，解决问题的关键是掌握：菱形的对角线平分每一组对角，菱形面积等于两条对角线的长度乘积的一半．