Question

17．如图，△OAB是等边三角形，过点A的直线l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m与x轴交于点E（4，0）
（1）求m的值及△OAB的边长；
（2）在线段AE上是否存在点P，使得△PAB的面积是△OAB面积的一半？若存在，试求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在直线AE上是否存在点M，使得MA=MB？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将E坐标代入直线l解析式求出m的值，确定出直线l，根据三角形AOB为等边三角形，且A在直线l上，设等边三角形边长为2a，表示出A坐标，代入直线l方程求出a的值，即可确定出等边三角形边长；
（2）求出三角形AOB面积，由△PAB的面积是△OAB面积的一半，确定出三角形PAB面积，求出B到AE的距离BD，确定出AP长，由P在直线l上，设出P坐标，利用两点间的距离公式求出p的值，确定出P坐标即可；
（3）首先求得AB的解析式，然后求得经过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式，然后求得与AE的交点即可．

解答 解：（1）将E（4，0）代入直线l方程得：0=-4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+m，即m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴直线l解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
过A作AC⊥OB，
∵△ABO为等边三角形，
∴OC=BC=$\frac{1}{2}$OB，
设等边△ABC边长为2a，则有OC=a，AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，即A（a，$\sqrt{3}$a），
代入直线l方程得：$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得：a=1，即A（1，$\sqrt{3}$a），
则OAB边长为2；
（2）过B作BD⊥AE，
∵直线l的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即倾斜角为150°，AB=BE=2，
∴∠AEB=∠BAE=30°，
∴BD=1，
∵S_△PAB=$\frac{1}{2}$S_△OAB，S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$AP•BD=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即AP=$\sqrt{3}$，
设P坐标为（p，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$p+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴AP²=（1-p）²+（$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$p-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²=3，
解得：p=$\frac{5}{2}$或p=-$\frac{1}{2}$（舍去），
则P的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（3）∵A的坐标是（1，$\sqrt{3}$），△OAB是等边三角形，
∴B的坐标是（2，0）．
∴AB的中点的坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
设AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
则AB的解析式是y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$．
设经过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+c，
则$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{3}{2}$+c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：c=0，
则解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$得$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=2．
则y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
则M的坐标是（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，两点间的距离公式，两直线平行时斜率满足的关系，以及平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．