Question

20．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，分别延长FD和CB交于点G．
（1）求证：△ADE≌△CFE； 
（2）若GB=2，BC=3，BD=1，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质可得：∠A=∠FCE，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明：△ADE≌△CFE；
（2）由AB∥FC，可证明△GBD∽△GCF，根据给出的已知数据可求出CF的长，即AD的长，进而可求出AB的长．

解答 （1）证明：∵AB∥FC，
∴∠A=∠FCE，
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FCE}\\{∠DEA=∠FEC}\\{DE=FE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（AAS）；

（2）解：∵AB∥FC，
∴△GBD∽△GCF，
∴GB：GC=BD：CF，
∵GB=2，BC=3，BD=1，
∴2：5=1：CF，
∴CF=$\frac{5}{2}$，
∵AD=CF，
∴AB=AD+BD=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的性质，题目的设计很好，难度一般．