Question

【题目】在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上（不含点B），∠BPE= ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图①），求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想： = ，并结合图②证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求 的值．（用含α的式子表示）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，

∵PF⊥BG，∠PFB=90°，

∴∠GBO=90°﹣∠BGO，∠EPO=90°﹣∠BGO，

∴∠GBO=∠EPO，

在△BOG和△POE中， ，

∴△BOG≌△POE（ASA）

（2）

解：猜想 = ．

证明：如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=90°﹣∠BMN，∠NPE=90°﹣∠BMN，

∴∠MBN=∠NPE，

在△BMN和△PEN中， ，

∴△BMN≌△PEN（ASA），

∴BM=PE．

∵∠BPE= ∠ACB，∠BPN=∠ACB，

∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，

∴∠BFP=∠MFP=90°．

在△BPF和△MPF中， ，

∴△BPF≌△MPF（ASA）．

∴BF=MF．

即BF= BM．

∴BF= PE．

即 ；

（3）

解：如图3，过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°．

由（2）同理可得BF= BM，∠MBN=∠EPN，

∴△BMN∽△PEN，

∴ ．

在Rt△BNP中，tanα= ，

∴ =tanα．即 =tanα．

∴ tanα．

【解析】（1）由四边形ABCD是正方形，P与C重合，易证得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，证得∠GBO=∠EPO，则可利用ASA证得：△BOG≌△POE；（2）首先过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF= BM．则可求得 的值；（3）首先过P作PM∥AC交BG于点M，交BO于点N，由（2）同理可得：BF= BM，∠MBN=∠EPN，继而可证得：△BMN∽△PEN，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 ．