Question

如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连

结AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证OE＝AC；

*（2）求证：＝；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．

Answer 1

（1）【略证】∵  AB为直径，∴ ∠ACB＝90°，

即  AC⊥BC．∵  D为的中点，由垂径定理，得

  OD⊥BC．∴  OD∥AC．又∵  点O为AB的中点，∴  点E为BC的中点．∴  OE＝AC．

*（2）【略证】连结CD．∵  ∠PCD＝∠CAP，∠P是公共角，∴  △PCD∽△PAC．∴  ＝．

∴  ＝．又  PC是⊙O的切线，∴  PC²＝PD?DA．∴  ＝，

∴  ＝．∵  BD＝CD，∴  ＝．

（3）【略解】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴  BC＝＝8．∴  BE＝4．

∵  OE＝＝3，∴  ED＝2．则在Rt△BED中，BD＝＝2，

在Rt△ADB中，AD＝＝4．∵  ＝，∴  ＝．

解此方程，得  PD＝5，AP＝9．又  PC²＝DP?AP，∴  PC＝＝15．