Question

（2012•大东区一模）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．过点O作线段AC的垂线段OE，垂足为点E，
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD=4，AC=4

5

，求垂线段OE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC．根据切线性质可证OC∥AD；然后根据等腰三角形性质、平行线的性质可证AC平分∠DAB；
（2）证明△AEO与△ADC相似，得比例线段求解．

解答：（1）证明：连接OC．
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD．
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠DAC（两直线平行，内错角相等）．
∵OC=OA（⊙O的半径），
∴∠OCA=∠OAC（等边对等角）．
∴∠OAC=∠DAC（等量代换）．
∴AC平分∠DAB．

（2）解：在Rt△ACD中，CD=4，AC=4

5

，则由勾股定理得，
AD=

AC2-CD2

=8．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE=

1

2

AC=2

5

．
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴

OE

CD

=

AE

AD

．
∴OE=

AE•CD

AD

=

2 5 ×4

8

=

5

．即垂线段OE的长为

5

．

点评：本题考查了圆的切线性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．