Question

11．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3$\sqrt{3}$，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．
（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=PM+QM列出函数关系式即可；
（2）当t=3或t=5时，BP=1，然后画出图形，计算即可；
（3）当t=4时，△EPQ的边长达到最大值，此后△EPQ沿射线BC平移，从而可求得t的取值范围．

解答 解：（1）y=PQ=PM+MQ=t+t=2t；
（2）如图1所示：连接EM．

当t=3时，PB=1．
∵PM=QM，
∴EM⊥PQ．
∵PB=1，
∴PM=QM=3．
∵△EPQ为等边三角形，
∴PE=6．
在Rt△EPQ中，ME=$\sqrt{P{E}^{2}-P{M}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
∴点E在AD上．
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积=${S}_{△EPQ}=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．
如图2所示：过点E作EN⊥BQ，交AD于点G，EP交AD于点F．

当t=5时，PB=1时，
∵△EPQ为等边三角形，
∴PQ=PE=8，PN=QN=4．
在Rt△EPN中，EN=$\sqrt{P{E}^{2}-P{N}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}=4\sqrt{3}$，
∵DF∥PQ，
∴△EFD∽△EPQ．
∴$\frac{EG}{EN}=\frac{FD}{PQ}$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{DF}{8}$．
解得：DF=2．
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积=$\frac{1}{2}（DF+PQ）AB=\frac{1}{2}×（2+8）×3\sqrt{3}$=15$\sqrt{3}$．
（3）能．
如图3所示；

当t=4时，△EPQ与△BCE′重合，此时线段AD被覆盖的长度到达最大值，
t=5时，△EPQ位于图中所示的位置，
∴4≤t≤5时，AD倍△EPQ覆盖部分的长度不变．

点评 本题主要考查的是四边形的综合应用、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、梯形的面积公式，根据题意画出图形是解题的关键．