Question

6．如图，直线AB过x轴上的一点A（2，0），且与抛物线y=ax²相交于B、C两点，点B的坐标为（1，1）．
（1）求直线AB和抛物线y=ax²的解析式；
（2）求点C的坐标，求S_△BOC；
（2）若抛物线上在第一象限内有一点D，使得S_△AOD=S_△BOC，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，根据点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连线两函数解析式成方程组，解之即可得出点C的坐标，将x=0代入直线AB的解析式中求出点E的坐标，根据三角形的面积公式即可得出S_△BOC的值；
（3）设点D的坐标为（m，m²）（m＞0），根据三角形的面积公式结合S_△AOD=S_△BOC，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，取其正值代入点D的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（2，0）、B（1，1）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+2．
∵点B（1，1）在抛物线y=ax²上，
∴1=a，
∴抛物线的解析式为y=x²．
（2）联立两函数解析式成方程组，$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（-2，4）．
当x=0时，y=-x+2=2，
∴直线AB与y轴的交点E的坐标为（0，2），
∴OE=2，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OE•|x_C-x_B|=$\frac{1}{2}$×2×3=3．
（3）设点D的坐标为（m，m²）（m＞0），
∵点A（2，0），
∴OA=2．
∵S_△AOD=S_△BOC=$\frac{1}{2}$OA•y_D=$\frac{1}{2}$×2m²=3，
∴m=$\sqrt{3}$或m=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴点D的坐标为（$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标；（3）根据面积公式列出关于m的一元二次方程．