Question

【题目】如图，矩形中，，，点为中点，点为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，，当为直角三角形时，的长为_____．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

分两种情况进行讨论：当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形；当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．

分两种情况讨论：

①当∠CFE=90°时，△ECF是直角三角形，如图1所示．由折叠可得：∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，∴∠CFP=180°，即点P，F，C在一条直线上．

在Rt△CDE和Rt△CFE中，，∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），∴CF=CD=4．

设AP=FP=x，则BP=4﹣x，CP=x+4．

在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4﹣x）2+62=（x+4）2，解得：x，即AP；

②当∠CEF=90°时，△ECF是直角三角形，如图2所示，过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE=∠D=90°．

又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，∴∠FEQ=∠ECD，∴△FEQ∽△ECD，∴，即，解得：FQ，QE，∴AQ=HF，AH，设AP=FP=x，则HPx．

∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，即（x）2+（）2=x2，解得：x=1，即AP=1．

综上所述：AP的长为1或．