Question

3．如图，BD平分∠ABC，∠BAD+∠BCD=180°，求证：AD=CD．

Answer 1

分析 若要证明DC=AD直接证明有一定的难度，所以这时应给它们找一个中介线段，在BC上截取BE=BA，根据已知条件证明△BAD≌△BED，所以DA=DE，再证DE=DC，即AD=CD．

解答 解：如图，在BC上截取BE=BA，连接DE，

∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠EBD，
在△BAD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BE}\\{∠ABD=∠EBD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△BED（SAS），
∴DA=DE，∠A=∠BED，
∵∠BED+∠DEC=180°，∠A+∠C=180°，
∴∠C=∠DEC，
∴DE=DC，
∴DC=AD．

点评 本题考查了等腰三角形的判断方法和证明三角形全等的方法，解决本题的关键是作出辅助线．