Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+3的图象过x轴上点A（1，0）和点B，且与y轴交与点C，顶点为P．
（1）求此二次函数的解析式及点P的坐标．
（2）过点C且平行于x轴的直线与二次函数的图象交于点D，过点D且垂直于x轴的直线交直线CB与点M，求△BMD的面积．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=x²+bx+3的图象过x轴上点A（1，0），
∴1+b+3=0，解得b=-4，
∴此二次函数的解析式为：y=x²-4x+3，
∵二次函数y=x²-4x+3可化为y=（x-2）²-1的形式，
∴P（2，-1）；

（2）∵由（1）可知，二次函数的解析式为：y=x²-4x+3，
∴C（0，3），B（3，0）
∵CD∥x轴，
∴C、D两点纵坐标相同，
∴D（4，3），
设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∴解得，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵DM⊥x轴，D（4，3）
∴M（4，-1），N（4，0）
∴S_△BMD=S_△CDM-S_△BMD=DM•CD-CD•OC=×（3+1）×4-×4×3=2．
答：△BMD的面积是2．
分析：（1）直接把点A（1，0）代入二次函数y=x²+bx+3即可求出b的值，进而得出其解析式，由二次函数的顶点式即可求出其顶点坐标；
（2）先根据（1）中二次函数的解析式求出B、D两点的坐标，用待定系数法求出直线BC的解析式，由此可得出M点的坐标，根据S_△BMD=S_△CDM-S_△BMD即可得出结论．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求一次函数的解析式及三角形的面积，难度适中．