Question

如图，直线y=k₁x+b（k₁≠0）与双曲线（k₂≠0）相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）若A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）为双曲线上的三点，且x₁＜0＜x₂＜x₃，请直接写出y₁，y₂，y₃的大小关系式；

（3）观察图象，请直接写出不等式k₁x+b＜的解集．

Answer 1

解：（1）将A（1，2）代入双曲线解析式得：k₂=2，即双曲线解析式为。

将B（m，﹣1）代入双曲线解析式得：，即m=﹣2，∴B（﹣2，﹣1）。

将A与B坐标代入直线解析式得：，解得：。

∴直线解析式为y=x+1。

（2）y₂＞y₃＞y₁。

（3）由A（1，2），B（﹣2，﹣1），

利用函数图象得：不等式k₁x+b＜的解集为﹣2＜x＜0或x＞1。

【解析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出k₂的值，确定出双曲线解析式，将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k₁与b的值，即可确定出直线解析式。

（2）根据三点横坐标的正负，得到A₂与A₃位于第一象限，对应函数值大于0，A₁位于第三象限，函数值小于0，且在第一象限为减函数，即可得到大小关系式：

∵x₁＜0＜x₂＜x₃，且反比例函数在第一象限为减函数，

∴A₂与A₃位于第一象限，即y₂＞y₃＞0，A₁位于第三象限，即y₁＜0，

则y₂＞y₃＞y₁。

（3）由两函数交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集。

考点：反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。