如图.在平面直角坐标系中.直线y=x+1分别交x.y轴于点A.B.交双曲线$y=\frac{k}{x}．抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$过点B.且与该双曲线交于点D.点D的纵坐标为3．(1)求该双曲线与抛物线的解析式,(2)若点E为该双曲线上一点.点F为该抛物线上一点.且E.F的纵坐标均为2.求线段EF的长,(3)若动点M沿直线从点A运动到点C.再沿双曲线从点C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别交x、y轴于点A、B，交双曲线$y=\frac{k}{x}（k≠0）$于点C（3，n）．抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$过点B，且与该双曲线交于点D，点D的纵坐标为3．
（1）求该双曲线与抛物线的解析式；
（2）若点E为该双曲线上一点，点F为该抛物线上一点，且E、F的纵坐标均为2，求线段EF的长；
（3）若动点M沿直线从点A运动到点C，再沿双曲线从点C运动到点D，过点M作MN⊥x轴，交抛物线于点N．设线段MN的长度为d，点M的横坐标为m，直接写出d的最大值，以及d随m的增大而减小时m的取值范围．

分析（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C、D的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数值，可得相应自变量的值，根据函数值相等的两点间的距离是较大的横坐较小的绝对值，可得答案；
（3）根据自变量相等的两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得函数关系式，根据二次函数的性质，可得答案．

解答解：（1）当x=3时，y=x+1=4，即C（3，4），当x=0时，y=x+1=1，即B（0，1）．
将C点（3，4）代入双曲线，得
4=$\frac{k}{3}$，解得k=12，
双曲线的解析式为y=$\frac{12}{x}$，
当y=3时，3=$\frac{12}{x}$，解得x=4，即D（4，3），
将B、D点坐标代入抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=3}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1；
（2）当y=2时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1=2，解得x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
即F₁（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2），F₂（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）；
当y=2时，2=$\frac{12}{x}$，解得x=6，即E（6，0），
EF₁=6-$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$=$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$，
EF₂=6-$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$=$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$；
（3）当-1≤m≤0时，d=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+1-（m+1）=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m=$\frac{1}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{25}{8}$
当0＜m≤3时，d=m+1-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+1）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，当m=$\frac{5}{2}$时，d_最大=$\frac{25}{8}$；
当3＜m≤4时，d=$\frac{12}{m}$-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+1），
d随m的增大而减小时m的取值范围是-1≤m≤0，$\frac{5}{2}$≤m≤4．