Question

如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）写出图中所有的等腰三角形，不需证明；
（2）请你判断AD与BE是否垂直，并说明理由；
（3）如果BC=12，求AB+AE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证BE是AD的垂直平分线，根据线段的垂直平分线以及等腰直角三角形的定义即可作出判断；
（2）证明△ABE≌△DBE，则AE=DE，AB=BD，即可得到BE是线段AD的中垂线；
（3）根据AE=ED，以及△EDC是等腰直角三角形，即可得到AB+AE=BC，从而求解．

解答：解：（1）△ABC、△ABD、△AED、△EDC；
（2）AD⊥BE．
理由：在△ABE和△DBE中，

∠BAE=∠BDE BE=BE ∠ABE=∠DBE

，
∴△ABE≌△DBE（ASA）．
∴AE=DE，AB=BD，
∴B和E在AD的中垂线上．
∴AD⊥BE；
（3）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴直角△EDC是等腰直角三角形，
∴DE=AE．
∴AB+AE=BD+DE=BD+DC=BC=12（cm）．

点评：本题考查了线段的垂直平分线的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，理解线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等，是关键．