Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB=BC, ∠ABC=90 ,点E在BD上，点F在射线CD上，AE=EF,∠AEF=90 .

（1）若∠ABE=∠AEB,AG⊥BD,垂足为G,求证：BG=GE.

（2）在（1）的条件下，猜想线段CD与DF的数量关系，并证明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）CD=DF，理由详见解析.

【解析】

（1）由∠ABE=∠AEB可得AB=AE，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得BG=GE；（2）CD=DF，过点C作CP⊥BD于P，过点F作FQ⊥BD交BD的延长线于Q，证明△BCP≌△EFQ，根据全等三角形的性质可得CP=FQ，再证明△CPD≌△FQD，根据全等三角形的对应边相等即可证得结论.

（1）∵∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

∵AG⊥BD，

∴BG=GE；

（2）CD=DF，理由如下：

如图，过点C作CP⊥BD于P，过点F作FQ⊥BD交BD的延长线于Q，

∴∠BPC=∠DPC=∠FQE=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABD+∠CBD=90°，

∵∠ABE=∠AEB，

∴∠AEB+∠CBD=90°，

在△BCP和△EFQ中，

在△CPD和△FQD中，