Question

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴分别交于点A（2，0）、点B（点B在点A的右侧），与轴交于点C，tan∠CBA=$\frac{1}{2}$．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线的顶点为D，求四边形ACBD的面积；
（3）设抛物线上的点E在第一象限，△BCE是以BC为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线解析式和已知条件得出C和B的坐标，（0，3），OC=3，
把A（2，0）、B（6，0）分别代入y=ax²+bx+3得出方程组，解方程即可；
（2）把抛物线解析式化成顶点式得出顶点坐标，四边形ACBD的面积=△ABC的面积+△ABD的面积，即可得出结果；
（3）设点E的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²-2x+3），分两种情况：①当∠CBE=90°时；②当∠BCE=90°时；分别由三角函数得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵当x=0时，∴C（0，3），OC=3，
在Rt△COB中，∵tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OB=2OC=6，
∴点B（6，0），
把A（2，0）、B（6，0）分别代入y=ax²+bx+3，得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+3=0}\\{36a+6b+3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴该抛物线表达式为y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3；
（2）∵y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3=$\frac{1}{4}$（x-4）²-1
∴顶点D（4，-1），
∴四边形ACBD的面积=△ABC的面积+△ABD的面积=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×1=8；
（3）设点E的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²-2x+3），分两种情况：
①当∠CBE=90°时，
作EM⊥x轴于M，如图所示：
则∠BEM=∠CBA，
∴$\frac{BM}{EM}$=tan∠BEM=tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴EM=2BM，
即2（x-6）=$\frac{1}{4}$x²-2x+3，
解得：x=10，或x=6（不合题意，舍去），
∴点E坐标为（10，8）；
②当∠BCE₁=90°时，作E₁N⊥y轴于N，
则∠E₁CN=∠CBA，
∴$\frac{{E}_{1}N}{CN}$=tan∠E₁CN=tan∠CBA=$\frac{1}{2}$，
∴CN=2E₁N，
即2x=$\frac{1}{4}$x²-2x+3-3，
解得：x=16，或x=0（不合题意，舍去），
∴点E₁坐标为（16，35）；
综上所述：点E坐标为（10，8）或（16，35）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线解析式的求法、三角函数的应用、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，求出抛物线解析式是解决问题的关键．