Question

如图，已知四边形ABCD为正方形，AC为对角线，四边形AEFC是菱形，求证：∠EAC=30°．

Answer 1

考点：正方形的性质,菱形的性质

专题：证明题

分析：过点B作BO⊥AC于O，过点E作EH⊥AC于H，判断出四边形BEOH是矩形，根据矩形的对边相等可得EH=BO，根据正方形的性质用AB表示出BO，再根据菱形的性质和正方形的性质表示出AE，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半证明．

解答：证明：如图，过点B作BO⊥AC于O，过点E作EH⊥AC于H，
∴BO∥EH，
∵菱形的对边AC∥BF，
∴四边形BEOH是矩形，
∴EH=BO，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BO=

2

2

AB，
∵四边形AEFC是菱形，
∴AE=AC=

2

AB，
∴

EH

AE

=

2 2 AB

2 AB

=

1

2

，
∴∠EAC=30°．

点评：本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．