Question

3．如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=ax²+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（点B在点C左侧），且OA=OC=4OB．
（1）求a，b的值；
（2）连接AB、AC，点P是抛物线上第一象限内一动点，且点P位于对称轴右侧，
过点P作PD⊥AC于点E，分别交x、y轴于点D、H，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G，设P（x，y），线段DG的长为d，求d与x之间的函数关系（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当$\frac{{{S_{△PEF}}}}{{{S_{△PDF}}}}=\frac{3}{8}$时，连接AP并延长至点M，连接HM交AC于点S，点R是抛物线上一动点，当△ARS为等腰直角三角形时．求点R的坐标和线段AM的长．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入求得y=4，从而得到点A的坐标为（0，4），由OA=OC=4OB可求得C（4，0），B（-1，0），然后将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可求得a=-1，b=3；
（2）作PK⊥x轴于点K．由题意可知△AOC为等腰直角三角形，于是得到∠ACO=45°，由AC⊥PD可证明∠EDC=45°，从而得到△PDK为等腰直角三角形，故此PK=DK=y，由AB∥PG可知∠ABO=∠PGK，由锐角三角函数的定义可知$\frac{AO}{OB}$=$\frac{PK}{GK}$=4，从而得到GK=$\frac{1}{4}$PK=$\frac{1}{4}$y，由d=DK-GK可求得d=$-\frac{3}{4}{x^2}+\frac{9}{4}x+3$；
（3）如图2所示：过点P作PK⊥x轴，垂足为K，PK交于AC与N．由题意可知：$\frac{PE}{PD}=\frac{3}{8}$，设点P的坐标为（x，y），由△NKC为等腰直角三角形可知CK=NK=4-x，由PN=PK-KN可知PN=y-4+x，由△PEN为等腰三角三角形可知PE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}PN$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（y-4+x）$，由△PBK为等腰直角三角形可知PD=$\sqrt{2}PK$=$\sqrt{2}y$，从而可得到$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}（y-4+x）}}{{\sqrt{2}y}}=\frac{3}{8}$，$\frac{y-4+x}{2y}=\frac{3}{8}$，将y=-x²+3x+4代入得：$\frac{-{x}^{2}+4x}{2（-{x}^{2}+3x+4）}=\frac{3}{8}$．解得：x₁=3，x₂=4（舍去）于是可求得P（3，4），从而得打D（-1，0），故此点D、B重合，由△BOH为等腰直角三角形，可求得AH=3．如图3所示：∠RAS=90°时．设点R（a，-a²+3a+4）由△ARS为等腰直角三角形，可证明RS⊥AM，从而得到AL=LS，AL=LR，故此a=-a²+3a+4-4可求得R（2，6）．由锐角三角函数的定义可知：$\frac{LS}{LM}$=$\frac{AH}{AM}$，从而得到$\frac{2}{LM}=\frac{3}{2+LM}$，解得LM=4，于是可求得AM=6；当∠ARS=90°和∠ASR=90°时，△ARS不能构成等腰直角三角形，故此AM的长为6．

解答 解：（1）y=ax²+bx+4，当x=0时，y=4，
∴A（0，4）
∵OC=OA=4OB，
∴OC=4，OB=1，
∴C（4，0），B（-1，0）
将C（4，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax²+bx+4
得：$\left\{{\begin{array}{l}{16a+4b+4=0}\\{a-b+4=0}\end{array}}\right.$，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}}\right.$
∴a=-1 b=3．
（2）如图1，作PK⊥x轴于点K．

∵a=-1 b=3．
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4．
设点P的坐标为（x，y）
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠ACO=45°，
∵AC⊥PD，
∴∠EDC=45°，
∵PK⊥x轴，
∴△PDK为等腰直角三角形，
∴PK=DK=y，
∵AB∥PG，
∴∠ABO=∠PGK，
∵tan∠ABO=$\frac{AO}{OB}$=4，
∴tan∠PGK=$\frac{PK}{GK}$=4
∴GK=$\frac{1}{4}$PK=$\frac{1}{4}$y
∴d=DK-GK=y-$\frac{1}{4}$y=$\frac{3}{4}$y，
将y=-x²+3x+4代入得：d=$\frac{3}{4}$（-x²+3x+4）=$-\frac{3}{4}{x^2}+\frac{9}{4}x+3$．
（3）如图2所示：过点P作PK⊥x轴，垂足为K，PK交于AC与N．

∵$\frac{{{S_{△PEF}}}}{{{S_{△PDF}}}}=\frac{3}{8}$
∴$\frac{PE}{PD}=\frac{3}{8}$．
设点P的坐标为（x，y）．
∵CK=NK=4-x
∴PN=y-4+x
∴PE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}PN$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（y-4+x）$，PD=$\sqrt{2}PK$=$\sqrt{2}y$
∴$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}（y-4+x）}}{{\sqrt{2}y}}=\frac{3}{8}$，$\frac{y-4+x}{2y}=\frac{3}{8}$．
将y=-x²+3x+4代入得：$\frac{-{x}^{2}+4x}{2（-{x}^{2}+3x+4）}=\frac{3}{8}$．
整理得：x²-7x+12=0．
解得：x₁=3，x₂=4（舍去）．
∴P（3，4）
∵DK=PK=4，
∴D（-1，0）．
∴点D、B重合．
∵△BOH为等腰直角三角形，
∴OH=OB=1．
∴AH=3．
如图3所示：∠RAS=90°时．

设点R（a，-a²+3a+4）
∵△ARS为等腰直角三角形
∴∠RAS=90°，∠ARS=45°
∵AP∥x轴
∴∠PAC=∠ACO=45°．
∴∠RAP=45°．
∴RS⊥AM．
∴AL=LS，AL=LR．
∴a=-a²+3a+4-4．
∴a=2．
∴R（2，6）．
在Rt△LMS中tan∠M=$\frac{LS}{LM}$，在Rt△AHM中tan∠M=$\frac{AH}{AM}$
∴$\frac{LS}{LM}$=$\frac{AH}{AM}$．
∴$\frac{2}{LM}=\frac{3}{2+LM}$
∴LM=4
∴AM=6．
当∠ARS=90°和∠ASR=90°时，△ARS不能构成等腰直角三角形．
综上所述，AM的长为6．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值、锐角三角函数的定义，根据等腰直角三角形的性质列出关于x和LM的方程是解题的关键．