Question

19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，OB=2$\sqrt{2}$，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点A的坐标，从而可以求得一次函数的解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点C，点M、点B、点O的坐标，从而可以求得四边形MBOC的面积．

解答 解：（1）由题意可得，
BM=OM，OB=2$\sqrt{2}$，
∴BM=OM=2，
∴点B的坐标为（-2，-2），
设反比例函数的解析式为y=$\frac{k}{x}$，
则-2=$\frac{k}{-2}$，得k=4，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∵点A的纵坐标是4，
∴4=$\frac{4}{x}$，得x=1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y=mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（-2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{-2m+n=-2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
即一次函数的解析式为y=2x+2；

（2）∵y=2x+2与y轴交与点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∵点B（-2，-2），点M（-2，0），点O（0，0），
∴OM=2，OC=2，MB=2，
∴四边形MBOC的面积是：$\frac{OM•OC}{2}+\frac{OM•MB}{2}$=$\frac{2×2}{2}+\frac{2×2}{2}$=4．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答．