题目内容

如图：在平面直角坐标系中，直线y=
1
2
x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y=kx+8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴于点E（2，0），点P（t，0）为x轴上一动点．
（1）分别求线段OB，OC的长；
（2）过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，过Q作x轴的平行线交直线CD于点M，设线段QM的长为y，当-6＜t＜4时，求y与t的函数关系式；
（3）若点T为直线CD上一动点，当以O，B，T为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似时，求相应的点P（t＜0）的坐标．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据自变量的值，可得相应的函数值，即OB的长度，根据待定系数法，可得CD的解析式，根据函数值，可得相应自变量的值；
（2）分类讨论：-6＜t≤2，2＜t＜2，根据QM∥x轴，可得Q、M的纵坐标相等，根据大的横坐标减小的横坐标，可得答案；
（3）分类讨论：①当C与T重合时，可得△P1OB∽△TOB，△P2OB∽△BOT，②当C与T不重合时，△P1OB∽△TOB，△P4OB∽△OBT，根据相似三角形的性质，可得答案．
解答：解：（1）当x=0时，y=3，B（0，3）
即OB=3，
D作DE⊥x轴于点E（2，0），得
D点的横坐标是2，
当x=2时，y=
1
2
×2+3=4，即D点坐标是（2，4），
直线CD y=kx+8经过D（2，4），得
2k+8=4，
解得k=-2，
直线CD的解析式是y=-2x+8，
当y=0时，-2x+8=0，解得x=4，
即OC=4；
（2）如图1：
，
①当-6＜x≤2时，当x=t时，y=
1
2
t+3，Q（t，
1
2
t+3），
QE∥x轴，E点纵坐标是
1
2
t+3，
当y=
1
2
t+3时，
1
2
t+3=-2x+8，解得x=-
5
4
t+
5
2
，
E点的坐标是（-
5
4
t+
5
2
，
1
2
t+3），
y=-
9
4
+
5
2
；
如图2：

②当2≤t＜4时，当x=t时，y=
1
2
t+3，Q（t，
1
2
t+3），
QE∥x轴，E点纵坐标是
1
2
t+3，
当y=
1
2
t+3时，
1
2
t+3=-2x+8，
解得x=-
5
4
t+
5
2
，
E点的坐标是（-
5
4
t+
5
2
，
1
2
t+3），
y=t-（-
5
4
t+
5
2
）=
9
4
t-
5
2
，
综上所述：当-6≤x≤2时，y=-
9
4
+
5
2
；
当2≤t≤4时，y=
9
4
t-
5
2
；
（3）如图3：

①当C与T不重合时，△P1OB∽△TOB，得
P1O
TO
=
BO
BO
，解得P1O=4，即P1（-4，0）；
△P2OB∽△BOT，得
P2O
OB
=
OB
OT
，解得P2O=
9
4
，即P2（-
9
4
，0）；
如图4：


当y=3时，3=-
1
2
x+8，解得x=
5
2
，即BT=
5
2
，
②T与C不重合时，BT⊥OB，∠TBO=∠P3OB=90°，
△P3OB∽△TBO，得
P3O
BT
=
BO
OB
，
解得P3O=
5
2
，P3（-
5
2
，0）；
△P4OB∽△OBT，得
P4O
OB
=
OB
TB
，P4O=
18
5
，P4（-
18
5
，0），
综上所述：P（-
5
2
，0），（-
18
5
，0），（-4，0），（-
9
4
，0）．
点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了函数值与自变量的关系，相似三角形的性质，分类讨论是解题关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，圆O的半径为5，PA，PB是圆O的切线，切点分别为A，B，∠APB=90°，则PA=
 
，PO=
 
，AB=
 
．
在△ABC中，若AB=AC，则sinB等于（　　）
A、sin
A
2
B、cos
A
2
C、sinA
D、cosA
图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（　　）
A、h=mB、k＞n
C、k=nD、h＞0，k＞0
用没有刻度的直尺与圆规作图：（尺规作图）
（1）作线段AB的垂直平分线EF；          
（2）作∠AOB的角平分线OC．
如果（x+m）（x-n）中不含x的一次项，则m、n满足（　　）
A、m=nB、m=0
C、m=-nD、n=0
在算式am+n÷（　　）=am-2中，括号内的代数式应是（　　）
A、am+n-2
B、an-2
C、am+n+3
D、an+2
用简便方法计算9982-4的结果是
 
．
已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为（　　）cm2．
A、108B、114
C、64D、96

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