Question

10．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（4，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C，动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动．P，Q两点同时出发，P的速度是2个单位/秒，Q的速度是1个单位/秒．当一点到达终点时另一点也随之停止运动．
（1）求线段BC的长：
（2）如图2，连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交BC于点F，设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′．使点E的对应点E′落在线段AB上，点F的对应点是F′，E′F′交x轴于点G．当QE′+GE′=3时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得出EF=EB，过点Q作QR∥PO，由相似三角形的性质得出$\frac{RE}{EO}$=$\frac{RO}{PO}$，故可用t表示出RO与RE的长，根据m=BR+RE即可得出结论；
（3）根据图形旋转的性质可知QE′=BE′-BQ，GE′=AE′=AB-BE′，再由QE′+GE′=3即可得出t的值．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=4，∠OAB=60°，
∴tan∠OAB=$\frac{BC}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=4$\sqrt{3}$；

（2）∵∠BOA=60°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°．
∵∠ABO=60°，
∴∠OBC=30°．
∵EF∥x轴，
∴∠BFE=∠ACB=∠OBC=30°，
∴EF=EB．
如图1，过点Q作QR∥PO，则∠RQE=∠OPE，
∵∠REQ=∠OEP，
∴△RQE∽△OPE，
∴$\frac{RE}{EO}$=$\frac{RO}{PO}$=$\frac{t}{2t}$=$\frac{1}{2}$，
∴RE=$\frac{1}{3}$RQ．
∵RO=4-t，
∴RE=$\frac{1}{3}$（4-t），
∴m=BR+RE=t+$\frac{4}{3}$-$\frac{t}{3}$=$\frac{2}{3}$t+$\frac{4}{3}$（0＜t＜2）．

（3）如图2，QB=t，QE′=BE′-BQ=m-t=$\frac{2}{3}$t+$\frac{4}{3}$-t=-$\frac{1}{3}$t+$\frac{4}{3}$，GE′=AE′=AB-BE′=4-m=4-$\frac{2}{3}$t-$\frac{4}{3}$=-$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$，
当QE′+GE′=3时，-$\frac{1}{3}$t+$\frac{4}{3}$-$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$=3，解得t=1．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等边三角形及直角三角形的性质等知识，在解答（2）时，作出平行线，构造出相似三角形是解答此题的关键．