题目内容
已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，
线段MN运动的时间为t秒．
（1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面积；
（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，
则AD=2，
当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
即当AM=
时，四边形MNQP是矩形，
∴t=秒时，四边形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan60°=
，
PQ=MN=AB-2AM=4-3=1，
∴S四边形MNQP=PM•PQ=；
（2）①当0＜t≤1时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=t，tan∠A=
，
∴PM=tan60°×AM=
AM=t，
在Rt△ANQ中，
而AN=AM+MN=t+1，
∴QN=AN=（t+1），
∴S四边形MNQP=
（PM+QN）MN=[t+（t+1）]=t+
；
②当1＜t＜2时，
点P在AC上，点Q在BC上，
PM=t，
BN=AB-AM-MN=4-1-t=3-t，
在Rt△BNQ中，
QN=BN=（3-t），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[t+（3-t）]×1=；
③当2≤t＜3时，点P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=3-t，
∴PM=BM=（4-t），QN=BN=（3-t），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[（3-t）+（4-t）]=
-t． 
分析：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形，根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积；
（2）根据①当0＜t＜1时；②当1≤t≤2时；③当2＜t＜3时，分别求出四边形MNQP的面积，即四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
点评：本题涉及到动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，由数形结合便可解答，体现了数形结合在解题中的重要作用．
则AD=2，当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
即当AM=
时，四边形MNQP是矩形，∴t=
秒时，四边形MNQP是矩形，∵PM=AMtan60°=
，PQ=MN=AB-2AM=4-3=1，
∴S四边形MNQP=PM•PQ=
；（2）①当0＜t≤1时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
在Rt△AMP中，
∵∠A=60°，AM=t，tan∠A=
，∴PM=tan60°×AM=
AM=t，在Rt△ANQ中，
而AN=AM+MN=t+1，
∴QN=
AN=（t+1），∴S四边形MNQP=
（PM+QN）MN=[t+（t+1）]=t+；②当1＜t＜2时，
点P在AC上，点Q在BC上，
PM=
t，BN=AB-AM-MN=4-1-t=3-t，
在Rt△BNQ中，
QN=
BN=（3-t），∴S四边形MNQP=
（PM+QN）MN=[t+（3-t）]×1=；③当2≤t＜3时，点P、Q都在BC上，
BM=4-t，BN=3-t，
∴PM=
BM=（4-t），QN=BN=（3-t），∴S四边形MNQP=
（PM+QN）MN=[（3-t）+（4-t）]=-t． 分析：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形，根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积；
（2）根据①当0＜t＜1时；②当1≤t≤2时；③当2＜t＜3时，分别求出四边形MNQP的面积，即四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
点评：本题涉及到动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，由数形结合便可解答，体现了数形结合在解题中的重要作用．
练习册系列答案
相关题目
线段MN运动的时间为t秒．
如图，已知：等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FE⊥BC，垂足为E，若三角形ABC的边长为4．
17、如图，已知在等边三角形ABC中，D、E是AB、AC上的点，且AD=CE．
已知在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD=AE，EB与CD相交于点O，EF⊥CD于点F．求证：OE=2OF．
已知，等边三角形ABC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FD⊥AB．