Question

2．已知二次函数y=$\frac{1}{4}$x²-（m+1）x+m²+2m
（1）求证：二次函数图象与x轴有两个交点．
（2）若二次函数图象的对称轴为x=4，
①求二次函数图象的顶点坐标；
②请设计一个平移方案，使平移后的二次函数图象经过原点．

Answer 1

分析 （1）与x轴相交，即y=0，得到$\frac{1}{4}$x²-（m+1）x+m²+2m=0，根据根的判别式求出b²-4ac＞0即可；
（2）①根据抛物线的对称轴公式，列出关于m的一元一次方程，求出m的值，得到抛物线解析式，根据顶点坐标公式，即可解答；
②将抛物线向下平移3个单位长度，即可经过原点．

解答 （1）证明：令y=0，得$\frac{1}{4}$x²-（m+1）x+m²+2m=0，
∵△=b²-4ac=[-（m+1）]²-4×$\frac{1}{4}$×（m²+2m）=1＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴二次函数图象与x轴有两个交点；
（2）解：①∵抛物线的对称轴为x=4，
∴$-\frac{b}{2a}=-\frac{-（m+1）}{2×\frac{1}{4}}=4$，解得：m=1，
∴y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=\frac{4×\frac{1}{4}×3-4}{4×\frac{1}{4}}=-1$，
∴顶点坐标为（4，-1）；
②∵抛物线y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3与y轴交于点（0，3），
∴将抛物线向下平移3个单位长度，即可经过原点．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的图象性质，熟知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决第（1）题的关键，解决第（2）小题的关键是能熟记抛物线顶点坐标公式．