Question

7．如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求DE的长．
（3）在（2）的条件下，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由DE为⊙O的切线，OC=OD，易得∠2+∠C=90°，又由OC⊥OB，可得∠C+∠OFC=90°，继而证得∠1=∠2；
（2）由OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，可求得OF=1，然后由勾股定理得方程：3²+x²=（x+1）²，继而求得答案；
（3）易证得Rt△EOD∽Rt△EGA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：连结OD，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠2+∠C=90°，
∵OC⊥OB，
∴∠C+∠OFC=90°，
∴∠2=∠OFC，
∵∠1=∠OFC，
∴∠1=∠2；

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，
∴OF=1，
∵∠1=∠2，
∴EF=ED，
在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，
∵OD²+DE²=OE²，
∴3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
∴DE=4；

（3）解：∵AG为⊙O的切线，
∴AG⊥AE，
∴∠GAE=90°，
∴∠GAE=∠ODE=90°，
∵∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴$\frac{OD}{AG}$=$\frac{DE}{AE}$，
∵OE=4+1=5，
即$\frac{3}{AG}$=$\frac{4}{3+5}$，
∴AG=6．

点评 此题考查了切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意掌握方程思想的应用．