Question

【题目】已知二次函数．

（1）该二次函数图象的对称轴是x ；

（2）若该二次函数的图象开口向下，当时， 的最大值是2，求当时， 的最小值；

（3）若对于该抛物线上的两点， ，当， 时，均满足，请结合图象，直接写出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）－6；（3）4．

【解析】试题分析：

（1）由二次函数的对称轴为直线即可求出的对称轴为直线： ；

（2）由题意结合（1）中所得抛物线的对称轴为直线可得，当时， 最大=，由此可解得；由对称轴把分为和 两个部分，结合对称轴两侧函数的增减性即可求得当时， 的最小值；

（3）由题意可得抛物线和x轴交于点（1，0）和（3，0）；分a>0和a<0两种情况画出图象结合已知条件进行分析解答即可；

试题解析：

（1）∵二次函数图象的对称轴为直线，

∴二次函数的图象的对称轴为直线： ；

（2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，

∴ 当时，y取到在上的最大值为2.

∴.

∴， .

∵ 当时，y随x的增大而增大，

∴ 当时，y取到在上的最小值.

∵ 当时，y随x的增大而减小，

∴ 当时，y取到在上的最小值.

∴ 当时，y的最小值为.

（3）∵二次函数，

∴二次函数的图象交轴于点（1，0）和（3，0），由此分和画出图象如下：

①如图，当时，抛物线开口向上，由题意可知，此时点Q在直线的右侧，由图可知，此时不存t的值，使当， 时，始终满足成立；

②当时，抛物线开口向下，由题意可知，此时点Q在直线的右侧，由图可知，当点P在抛物线上点M和点N之间的部分图象上时，存在t，使当， 时，始终满足成立；此时，点M1关于抛物线对称轴的对称点N的横坐标为:-1，故，解得，所以的最大值为.

综合①②可得，满足条件的的最大值为.