Question

如图，E为正方形ABCD对角线BD上的一点，且BE=BC=1．
（1）求∠DCE的度数；
（2）点P在EC上，作PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM+PN的值．

Answer 1

考点：正方形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由正方形的性质得到，∠BCD=90°，∠DBC=45°，推出AB=BE，根据三角形的内角和定理求出∠BCE=∠BEC=67.5°，根据∠DCE=∠DCB-∠BCE即可求出答案．
（2）连接BP，作EF⊥BC于F，则∠EFB=90°，得出△BEF是等腰直角三角形，从而求得BF=EF=

2

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，然后根据S_△BPE+S_△BPC=S_△BEC，求得PM+PN=EF，即可求得；

解答：解：（1）在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∠DBC=45°，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∴∠BCE=∠BEC=

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（180°-∠DBC）=67.5°，
∴∠DCE=∠DCB-∠BCE=90°-67.5°=22.5°，
（2）连接BP，作EF⊥BC于F，则∠EFB=90°，
∵∠EBF=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵BE=BC=1，
∴BF=EF=

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，
∵PM⊥BD，PN⊥BC，
∴S_△BPE+S_△BPC=S_△BEC，
即

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BE•PM+

1

2

BC•PN=

1

2

BC•EF，
∵BE=BC，
∴PM+PN=EF=

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；

点评：本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及三角形的面积等知识点的理解和掌握，这些性质定理是解此题的关键，题型较好，难度适中．