题目内容
如图，长方形ABCD中AD∥BC，边AB=4，BC=8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；
（2）求△BEF的面积．
考点：翻折变换（折叠问题）
专题：
分析：（1）根据翻折不变性和平行线的性质得到两个相等的角，根据等角对等边即可判断△BEF是等腰三角形；
（2）根据翻折的性质可得BE=DE，BG=CD，∠EBG=∠ADC=90°，设BE=DE=x，表示出AE=8-x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x的值，即为BE的值，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠GBF，然后利用“角边角”证明△ABE和△GBF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=BE，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
（2）根据翻折的性质可得BE=DE，BG=CD，∠EBG=∠ADC=90°，设BE=DE=x，表示出AE=8-x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x的值，即为BE的值，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠GBF，然后利用“角边角”证明△ABE和△GBF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=BE，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解答：解：（1）△BEF是等腰三角形．
∵ED∥FC，
∴∠DEF=∠BFE，
根据翻折不变性得到∠DEF=∠BEF，
故∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
△BEF是等腰三角形；
（2）∵矩形ABCD沿EF折叠点B与点D重合，
∴BE=DE，BG=CD，∠EBG=∠ADC=90°，∠G=∠C=90°，
∵AB=CD，
∴AB=BG，
设BE=DE=x，则AE=AB-DE=8-x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
∴BE=5，
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=90°，
∠GBF+∠EBF=∠EBG=90°，
∴∠ABE=∠GBF，
在△ABE和△MBF中，
，
∴△ABE≌△GBF（ASA），
∴BF=BE=5，
∴△EBF的面积=
×5×4=10．
∵ED∥FC，
∴∠DEF=∠BFE，
根据翻折不变性得到∠DEF=∠BEF，
故∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
△BEF是等腰三角形；
（2）∵矩形ABCD沿EF折叠点B与点D重合，
∴BE=DE，BG=CD，∠EBG=∠ADC=90°，∠G=∠C=90°，
∵AB=CD，
∴AB=BG，
设BE=DE=x，则AE=AB-DE=8-x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
∴BE=5，
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=90°，
∠GBF+∠EBF=∠EBG=90°，
∴∠ABE=∠GBF，
在△ABE和△MBF中，
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∴△ABE≌△GBF（ASA），
∴BF=BE=5，
∴△EBF的面积=
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点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质．将翻折变换与勾股定理及等腰三角形的性质和判定相结合，体现了数学知识之间的密切联系，是一道好题．
练习册系列答案
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