题目内容

在△CDE中，∠C=90°，CD，CE的长分别为m，n，且DE•cosD=cotE．
（1）求证m²=n；
（2）若m=2，抛物线y=a（x-m）²+n与直线y=3x+4交于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）两点，且△AOB的面积为6（O为坐标原点），求a的值；
（3）若是k²= $数学公式$ ，c+l-b=0，抛物线y=k（x²+bx+c）与x轴只有一个交点在原点的右侧，试判断抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴还是负半轴，并证明你的结论．

（1）证明：由DE•cosD=cotE，有DE• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴CD²=CE，
∴m²=n．

（2）解：由题意得 $\text{[math]}$ ，
即ax²-（4a+3）x+4a=0
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂=4．
∴|x₁-x₂|= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴|AB|= $\text{[math]}$ ．
又直线y=3x+4与y轴交于M（0，4），与x轴交于N（- $\text{[math]}$ ，0）．
设OH=h垂直于MN，
则h= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =6，
∴ $\text{[math]}$ =3|a|．
∴a=3或a= $\text{[math]}$ ．

（3）∵k²= $\text{[math]}$ ，c+l-b=0，
∴k²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1，c+1-b=0，c=b-1，
抛物线y=k（x²+bx+c）可化为y=x²+bx+b-1，
∵抛物线与x轴只有一个交点，在原点的右侧，
∴△=b²-4（b-1）=b²-4b+4=0，即b-1= $\text{[math]}$ ＞0
令x=0，则y=b-1= $\text{[math]}$ ＞0，
故抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴．
分析：（1）由已知的三角函数得出DE• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，推出CD²=CE即可证明．
（2）解关于二次函数与一次函数组成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出AB的距离，再根据直线与x轴的交点可求出△AOB的高，根据其面积即可求出a的值．
（3）由k²= $\text{[math]}$ ，c+l-b=0，可求出k、c的值，代入抛物线y=k（x²+bx+c），再根据抛物线y=k（x²+bx+c）与x轴只有一个交点可求出△的值，再另x=0，即可求出抛物线与y轴的交点坐标，根据△进行判断即可．
点评：本题考查的是锐角三角函数的定义，二次函数图象上点的坐标特点及一元二次方程根与系数的关系，涉及面较广，但难度适中．