题目内容
在△CDE中，∠C=90°，CD，CE的长分别为m，n，且DE•cosD=cotE．（1）求证m2=n；
（2）若m=2，抛物线y=a（x-m）2+n与直线y=3x+4交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，且△AOB的面积为6（O为坐标原点），求a的值；
（3）若是k2=
| n | m2 |
分析：（1）由已知的三角函数得出DE•
=
，推出CD2=CE即可证明．
（2）解关于二次函数与一次函数组成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出AB的距离，再根据直线与x轴的交点可求出△AOB的高，根据其面积即可求出a的值．
（3）由k2=
，c+l-b=0，可求出k、c的值，代入抛物线y=k（x2+bx+c），再根据抛物线y=k（x2+bx+c）与x轴只有一个交点可求出△的值，再另x=0，即可求出抛物线与y轴的交点坐标，根据△进行判断即可．
| CD |
| DE |
| CE |
| CD |
（2）解关于二次函数与一次函数组成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出AB的距离，再根据直线与x轴的交点可求出△AOB的高，根据其面积即可求出a的值．
（3）由k2=
| n |
| m2 |
解答：（1）证明：由DE•cosD=cotE，有DE•
=
．
∴CD2=CE，
∴m2=n．
（2）解：由题意得
，
即ax2-（4a+3）x+4a=0
∴x1+x2=
，x1x2=4．
∴|x1-x2|=
=
=
=
∴|AB|=
．
又直线y=3x+4与y轴交于M（0，4），与x轴交于N（-
，0）．
设OH=h垂直于MN，
则h=
∵
•
•
=6，
∴
=3|a|．
∴a=3或a=-
．
（3）∵k2=
，c+l-b=0，
∴k2=
=
=1，c+1-b=0，c=b-1，
抛物线y=k（x2+bx+c）可化为y=x2+bx+b-1，
∵抛物线与x轴只有一个交点，在原点的右侧，
∴△=b2-4（b-1）=b2-4b+4=0，即b-1=
＞0
令x=0，则y=b-1=
＞0，
故抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴．
| CD |
| DE |
| CE |
| CD |
∴CD2=CE，
∴m2=n．
（2）解：由题意得
|
即ax2-（4a+3）x+4a=0
∴x1+x2=
| 4a+3 |
| a |
∴|x1-x2|=
| (x1+x2)2-4x1x2 |
=
|
|
| ||
| |a| |
∴|AB|=
|
又直线y=3x+4与y轴交于M（0，4），与x轴交于N（-
| 4 |
| 3 |
设OH=h垂直于MN，
则h=
| 4 | ||
|
∵
| 1 |
| 2 |
| ||
| |a| |
| 4 | ||
|
∴
| 24a+9 |
∴a=3或a=-
| 1 |
| 3 |
（3）∵k2=
| n |
| m2 |
∴k2=
| n |
| m2 |
| 4 |
| 22 |
抛物线y=k（x2+bx+c）可化为y=x2+bx+b-1，
∵抛物线与x轴只有一个交点，在原点的右侧，
∴△=b2-4（b-1）=b2-4b+4=0，即b-1=
| b2 |
| 4 |
令x=0，则y=b-1=
| b2 |
| 4 |
故抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴．
点评：本题考查的是锐角三角函数的定义，二次函数图象上点的坐标特点及一元二次方程根与系数的关系，涉及面较广，但难度适中．
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