Question

9．如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，交矩形的对角线BD于点E，点F是BC的中点，连接EF．
（1）试判断EF与⊙O的关系，并说明理由．
（2）若DC=2，EF=$\sqrt{3}$，点P是⊙O上除点E、C外的任意一点，则∠EPC的度数为60°或120°（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）直线EF与⊙O相切．理由如下：如图，连接OE、OF．通过△EFO≌△CFO（SAS），证得∠FEO=∠FCO=90°，则直线EF与⊙O相切．
（2）若点P在弧EC上可根据圆内接四边形的性质得到∠EPC+∠D=180°、若点P在弧EDC上由圆周角定理可得∠EPC=∠D，利用（1）中的全等三角形的对应边相等求得FC=EF=$\sqrt{3}$，所以通过解直角△BCD来求∠D的度数即可．

解答 解：（1）直线EF与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OE、OF．

∵OD=OE，
∴∠1=∠D．
∵点F是BC的中点，点O是DC的中点，
∴OF∥BD，
∴∠3=∠D，∠2=∠1，
∴∠2=∠3．
在△EFO与△CFO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OE=OC}\\{∠2=∠3}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△EFO≌△CFO（SAS），
∴∠FEO=∠FCO=90°，
∴直线EF与⊙O相切．

（2）如图，连接DF．
∵由（1）知，△EFO≌△CFO，
∴FC=EF=$\sqrt{3}$．
∴BC=2$\sqrt{3}$
在直角△FDC中，tan∠D=$\frac{BC}{DC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠D=60°．
当点P在$\widehat{EC}$上时，
∵点E、P、C、D四点共圆，
∴∠EPC+∠D=180°，
∴∠EPC=120°，
当点P在$\widehat{EDC}$上时，
∠EPC=∠D=60°，
故答案为：60°或120°．

点评 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．