Question

3．已知抛物线y=ax²-2ax+c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1，0），O是坐标原点，且|OC|=3|OA|
（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；
（2）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF，将正方形ODEF一每秒1个单位的速度沿x轴的正方形移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）．在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，若∠PBC=∠ACO，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）首先由OC、OA的数量关系确定点C的坐标，即可利用待定系数法求出抛物线的解析式，抛物线解析式可得点B的坐标，而点C的坐标已经求得，由待定系数法求解即可．
（2）①首先要明确正方形ODEF和△OBC重合部分的形状：当点D在△OBC内部时，两者的重合部分是矩形；当点D在△OBC外部时，两者的重合部分是五边形，其面积可由正方形的面积减去△DGH的面积（G、H分别为ED、OD和线段BC的交点）．在判断t的取值范围时，要注意一个“关键点”：点D位于线段BC上时．
②根据①的函数性质即可得到答案，要注意未知数的取值范围；
（3）作OM平分∠BOC交BP于M，作MH⊥x轴于H，根据相似三角形的性质得到$\frac{BC}{OB}=\frac{AB}{OM}$，即$\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4}{OM}$，求得OM=2$\sqrt{2}$，得到OH=MH=2，求得M（2，-2），得到直线BM的解析式为y=2x-6，解方程组即可得到结论．

解答 解：（1）∵A（-1，0），|OC|=3|OA|
∴C（0，-3）
∵抛物线经过A（-1，0），
C（0，-3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{（-1）^{2}•a-2a•（-1）+c=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$
∴y=x²-2x-3．
∴点B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx-3，代入B点坐标，得：
3k-3=0，解得 k=1
∴直线BC的函数表达式为y=x-3；

（2）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，-2），
根据题意得：-2=m-3，
∴m=1．
①当0＜t≤1时，正方形和△OBC的重合部分是矩形；
∵OO₁=t，OD=2
∴S₁=2t；
当1＜t≤2时，正方形和△OBC的重合部分是五边形，如右图；
∵OB=OC=3，
∴△OBC、△D₁GH都是等腰直角三角形，
∴D₁G=D₁H=t-1；
S₂=S_矩形DD1O1O-S_△D1HG=2t-$\frac{1}{2}$×（t-1）²=-$\frac{1}{2}$t²+3t-$\frac{1}{2}$．
②由①知：
当0＜t≤1时，S=2t的最大值为2；
当1＜t≤2时，S=-$\frac{1}{2}$t²+3t-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t-3）²+4，
由于未知数的取值范围在对称轴左侧，且抛物线的开口向下；
∴当t=2时，函数有最大值，且值为 S=-$\frac{1}{2}$+4=$\frac{7}{2}$＞2．
综上，当t=2秒时，S有最大值，最大值为 $\frac{7}{2}$．

（3）如图2，作OM平分∠BOC交BP于M，作MH⊥x轴于H，
∵OB=OC=3，∠OCB=∠OBC=45°=∠BOM，
∵∠PBC=∠ACO，
∴∠ACB=∠MBO，
∴△BCA∽△OBM，
∴$\frac{BC}{OB}=\frac{AB}{OM}$，
∴$\frac{3\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4}{OM}$，
∴OM=2$\sqrt{2}$，
∴OH=MH=2，
∴M（2，-2），
∴直线BM的解析式为y=2x-6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-6}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（与B重合舍去），
∴P（1，4）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的最值及用待定系数法求一次函数的解析式等知识，在解答此题时要注意分类讨论思想的应用．