题目内容
【题目】△ABC和△ADE是有公共顶点的三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
(1) ①如图1，∠ADE＝∠ABC＝45°，求证：∠ABD＝∠ACE．
②如图2，∠ADE＝∠ABC＝30°，①中的结论是否成立？请说明理由．
(2)在(1) ①的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，画图并求PB的长度．
【答案】（1）见详解
（2）结论仍成立,理由见详解
（3）PB=
或
.
【解析】
（1）①依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD=∠ACE；
②先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论；
(2)分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．
解：(1)①∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AD＝AE，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE；
②∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠ADE＝∠ABC＝30°，∴
,
,
∴
,
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE．
(2)作草图如图所示，分为两种情况：
①当点E在AB上时，
∵∠BAC＝∠DAE，
又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AD＝AE，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE；
∴△AEC∽△BPE，∴
，
∵AB＝6，AD＝4，
∴EB＝2，
，
∴
，解得
．
②当点E在AB延长线上时，
∵∠BAC＝∠DAE，又∵∠ADE＝∠ABC＝45°，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE；
∴△ABD∽△DPC，
∴
，
∵AB＝6，AD＝4，
∴DC＝2，
，
∴
，解得
．
∴
．
综上，或．
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