Question

14．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过3秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）求出BP、CQ、CP，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，求出BD=5厘米，BP=t厘米，CP=（8-t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，根据全等三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）全等，理由如下：
∵点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴BP=t厘米，
∵BC=8厘米，
∴CP=（8-t）厘米；
∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，
∴∠B=∠C，BD=5厘米，
∵BP=CQ=t厘米=3厘米，
∴CP=8厘米-3厘米=5厘米=BD，
在△BPD和△CQP1中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BP=CQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，
∵BD=5厘米，BP=t厘米，CP=（8-t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，
∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，
即①t=xt，5=8-t，
解得：x=1（不合题意，舍去），
②t=8-t，5=xt，
解得：x=4，
即当点Q的运动速度为4厘米/时，能够使△BPD与△CQP全等．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，用了分类讨论思想．