Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF．
（1）求证：
①△AEF≌△DEB；
②四边形ADCF是平行四边形；
（2）若AB=AC，∠BAC=90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：正方形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定

专题：

分析：（1）①根据AAS证△AFE≌△DBE；
②利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论；
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据正方形的判定推出即可．

解答：（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，

∠AFE=∠DBE ∠FEA=∠BED AE=DE

，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC．

②由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）四边形ADCF是正方形．理由如下：
证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD⊥BC，AD=

1

2

BC=DC，
∴平行四边形ADCF是正方形．
（注：其他证明方法参照以上评分标准给分．）

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．