Question

8．（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD•BC=AP•BP．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=α时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC=∠A=∠B=α可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5-4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．

解答 （1）证明：如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；

（2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；
理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=α，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=α，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}$=$\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；

（3）解：如图3，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3
∴DE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=4，
∴BC=5-4=1，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，
又∵AP=t，BP=6-t，
∴t（6-t）=5×1，
∴解得：t₁=1，t₂=5，
∴t的值为1秒或5秒．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，培养学生运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．