Question

14．如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC和∠DCB的平分线，且BD=CA．求证：OA=OD．

Answer 1

分析 首先根据角平分线的性质可得∠ACB=$\frac{1}{2}$∠DCB，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，进而得到∠ACB=∠DBC，然后再根据ASA证明△ABC≌△DCB，则∠ACB=∠DBC，所以OB=OC，又BD=CA，根据等式性质可证OA=OD．

解答 证明：∵BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的角平分线，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠DCB，∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
在△ABC和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠DCB}\\{CB=CB}\\{∠ACB=∠DBC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
又∵BD=CA，
∴OA=OD．

点评 本题考查三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．