Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sin∠BAC=

1

3

，点D是AC上一点，且BC=BD=2，将Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，并使点E在射线BD上，连接AF交射线BD于点G，则AG的长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：作BH⊥CD于H，如图，在Rt△ABC中利用∠BAC的正弦可计算出AC=6，由于BC=BD=2，根据等腰三角形的性质得CH=DH，根据等角的余角相等得∠HBC=∠BAC，接着在Rt△HBC中利用sin∠HBC的正弦可计算出HC=

1

3

BC=

2

3

，则CD=2CH=

4

3

，所以AD=AC-CD=

14

3

，然后根据旋转的性质的∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，根据两等腰三角形的两顶角相等，则底角相等得到∠CBE=∠CAF，易得∠AGD=∠BCD，再利用∠BCD=∠BDC可得∠ADG=∠AGD，于是根据等腰三角形的性质可得AG=AD=

14

3

．

解答：解：作BH⊥CD于H，如图，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∵sin∠BAC=

BC

AC

=

1

3

，
∴AC=3BC=6，
∵BC=BD=2，
∴CH=DH，
∵∠HBC+∠ACB=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠HBC=∠BAC，
∴sin∠HBC=

1

3

，
在Rt△HBC中，∵sin∠HBC=

HC

BC

=

1

3

，
∴HC=

1

3

BC=

2

3

，
∴CD=2CH=

4

3

，
∴AD=AC-CD=6-

4

3

=

14

3

，
∵Rt△ABC绕点C旋转到Rt△FEC的位置，
∴∠BCE=∠ACF，CB=CE，CA=CF，
∴∠CBE=

1

2

（180°-∠BCE），∠CAF=

1

2

（180°-∠ACE），
∴∠CBE=∠CAF，
∵∠BDC=∠ADG，
∴∠AGD=∠BCD，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AG=AD=

14

3

．
故答案为

14

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．