Question

10．阅读理解：
两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．
（1）根据上述定义，判断下列结论，正确的打“√”，错误的打“×”．
①三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形．对
②两个等腰三角形是共角三角形．错
【探究】
（2）如图，在△ABC与△DEF中，设∠ABC=α，∠DEF=β
①当α=β=90°  时，显然可知：$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}$=$\frac{AB•BC}{DE•EF}$
②当α=β≠90°时，亦可容易证明：$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}$=$\frac{AB•BC}{DE•EF}$
③如图2，当α+β=180°（α≠β）时，上述的结论是否还能成立，若成立，请证明；若不成立，请举反例说明．
【应用】
（3）如图3，⊙O中的弦AB、CD所对的圆心角分别是72°、108°，记△OAB与△OCD的面积分别为S₁，S₂，请写出S₁与S₂满足的数量关系S₁=S₂．
（4）如图4，?ABCD的面积为2，延长□ABCD的各边，使BE=AB，CF=2BC，DG=2CD，AH=3AD，则四边形EFGH的面积为25．

Answer 1

分析 （1）①②根据共角三角形的定义，可得答案；
（2）根据同角的补角相等，可得：∠ABM=∠E，根据相似三角形的判定，可得△ABM∽△DEN，根据相似三角形的性质，可得对应边的比相等，可得证明的结论；
（3）根据共角三角形面积的关系，可得答案；
（4）根据共角三角形面积的关系，可得共角三角形的面积，根据面积的和差，可得答案．．

解答 解：（1）根据共角三角形的定义可知①对  ②错；
故答案为对，错．

（2）③证明：如图2中，过A作AM⊥BC交BC的延长线于点M、过D作DN⊥EF于点N，

∴∠AMB=∠DNE=90°
又∵∠ABM+α=β+α=180°
∴∠ABM=β
即：∠ABM=∠E
∴△ABM∽△DEN
∴$\frac{AM}{DN}$=$\frac{AB}{DE}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△DEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}AM•BC}{\frac{1}{2}DN•EF}$=$\frac{AM}{DN}$•$\frac{BC}{EF}$=$\frac{AB}{DE}$•$\frac{BC}{EF}$=$\frac{AB•BC}{DE•EF}$；

（3）如图3中，

∵△OAB与△OCD是共角三角形，OA=OB=OC=OD，
∴$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OCD}}$=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{OA•OB}{OC•OD}$=1，
∴S₁=S₂；
故答案为：S₁=S₂．

（4）如图4中，连接AC、BD．

四边形ABCD的面积为2，
S_△ABC=S_△ADC=S_△BAD=S_△BCD=1，
使BE=AB，CF=2BC，DG=2CD，AH=3AD，
由共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比得
$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{BE•EF}{AB•BC}$=$\frac{AB•3BC}{AB•BC}$=3，S_△BEF=3，
$\frac{{S}_{△GCF}}{{S}_{△BCD}}$=$\frac{CG•CF}{CB•CD}$=$\frac{3CD•2BC}{CD•BC}$=6，S_△GCF=6，
$\frac{{S}_{△HDG}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{DG•DH}{DA•DC}$=$\frac{2CD•4DA}{CD•DA}$=8，S_△DGH=8，
$\frac{{S}_{△AHE}}{{S}_{△ADB}}$=$\frac{AH•AE}{AD•AB}$ $\frac{3AD•2AB}{AD•AB}$═6，S_△AHE=6，
S_EFGH=S_△BEF+S_△GCF+S_△DGH+S_△AHE+S_ABCD
=3+6+8+6+2=25，
 故答案为25．

点评 本题考查了圆的综合题，共角三角形的面积之间的关系是解题关键．