题目内容
10．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x2+bx+1与y轴交于点C，点A（0，-$\frac{1}{2}$），点B（1，0），直线AB与抛物线相交于点D，点E位于第一象限内，且在直线AD上方（不含点D）的抛物线上，连结EA、EB．（1）如图1，若点C关于抛物线对称轴的对称点是点D．
①求抛物线的解析式；
②设所得△ABE的面积为S，求S的取值范围．
（2）如图2，若点D的坐标为（-1，-1），连结CD、CB，记抛物线与x轴的交点为F，问：是否存在这样的点E，使得tan∠BDC×tan∠EBF=1？，若存在，请求出满足条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）①根据抛物线的对称轴x=$\frac{3}{2}$b及C（0，1）得点D的坐标为（3b，1），求出直线AB解析式，将点D坐标代入可得b的值；
②设过点E且与AB平行的直线为y=$\frac{1}{2}$x+k，当此直线与抛物线只有一个公共点时面积最大，即-$\frac{1}{3}$x2+x+1=$\frac{1}{2}$x+k只有一个实数根，从而求得k的值，即可知此直线与x轴的交点，结合直线的斜率得出△ABE的高，根据三角形的面积公式可得最大值，从而知S的范围；
（2）由点D（-1，-1）求得抛物线解析式，根据△DCB的面积得出C到直线AB的距离，从而知sin∠BDC=$\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$、tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，根据tan∠BDC×tan∠EBF=1知tan∠EBF=$\frac{4}{3}$，设E（x，-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{5}{3}$x+1），有$\frac{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+1}{x-1}$=$\frac{4}{3}$，解之可得．
解答 解：（1）①∵抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$b，且与y轴的交点C（0，1），
∴点D的坐标为（3b，1），
∵A（0，$\frac{1}{2}$）、B（1，0），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
将点D（3b，1）代入得：1=$\frac{3}{2}$b-$\frac{1}{2}$，
解得：b=1，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x2+x+1；
②设过点E且与AB平行的直线为y=$\frac{1}{2}$x+k，
当此直线与抛物线只有一个公共点时面积最大，
∴-$\frac{1}{3}$x2+x+1=$\frac{1}{2}$x+k，即-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{1}{2}$x+k-1=0，
由△=0可得$\frac{1}{4}$-$\frac{4}{3}$（k-1）=0，解得：k=$\frac{19}{16}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{19}{16}$，与x轴的交点为（-$\frac{19}{8}$，0），
∴△ABE的高为（$\frac{19}{8}$+1）sin∠ABO=$\frac{27}{8}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴S的最大值为$\frac{1}{2}$×$\frac{27}{8}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{27}{32}$，
∴0＜S＜$\frac{27}{32}$．
（2）将D（-1，-1）代入y=-$\frac{1}{3}$x2+bx+1，得：b=$\frac{5}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{5}{3}$x+1，
∵△DCB的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$，
∴C到直线AB的距离为$\frac{\frac{3}{2}×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴sin∠BDC=$\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
∴tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，
∵tan∠BDC×tan∠EBF=1，
∴tan∠EBF=$\frac{4}{3}$，
设E（x，-$\frac{1}{3}$x2+$\frac{5}{3}$x+1），
∴$\frac{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+1}{x-1}$=$\frac{4}{3}$，
解得：x=$\frac{1+\sqrt{29}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{29}}{2}$（舍），
∴点E的横坐标为$\frac{1+\sqrt{29}}{2}$．
点评 本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、三角形的面积、三角函数的应用及点到直线的距离、平行线间的距离是解题的关键．
如图这个几何体是由六个完全相同的小正方体组成的，请画出这个几何体从三个不同方向看到的形状．
如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1=$\frac{k}{x}$的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D（0，-2），若S△AOD=4．（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx-2n=0的根，求m+n的值；
（2）已知x，y为实数，且y=2$\sqrt{x-5}$+3$\sqrt{5-x}$-2．求2x-3y的值．
| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3-π}$ | C． | $\sqrt{{a}^{2}}$ | D． | $\sqrt{\frac{1}{2}}$ |