Question

如图9，平行四边形中，，，为锐角，.为线段上的一个动点（不包括端点），，交射线于点，交射线于点.

小题1:若点在线段上，求与的周长之和
小题2:判断在点的运动过程中，与是否会相似？如果相似，请求出的长；如果不相似，请说明理由.

Answer 1

小题1:方法一：
如图，过点作于，
∵，
，
∴.    ……………………………………………………… 1分
在平行四边形中，∥，， 
∴，又，∴四边形为矩形.
∴，，                    ………………………………………… 2分
在中，，=，
可求得，.                   ……………………………………………… 3分
∴，.         
∴.            ……………………………………………… 4分
方法二：
设，∵，∴，.                ……… 1分
在平行四边形中，∥，，
∴，CG=BCBG=105k，.
∴在中， GF=84k，CF=63k.                    ……………………………… 3分
∴

= 24.                    ……………………………………………………… 4分
小题2:①当时，设，
∵，∴，，，.
∵   
∴要使与相似，需满足或.
当时，
                       ………………………………………………………5分
∴                              ………………………………………………………6分
此时，，满足.
当 时，
                             ………………………………………………7分
∴ 或                      ………………………………………………………8分
此时，或14，不满足.     …………………………………………………… 9分
∴当时，与相似.
②当时，点与点重合，不存在与相似. ………………  10分
③当时，

∵∥，∥，是锐角
∴是钝角
又∵，∴也是锐角，
∴.
∵，，
又∵   
∴，且，
∴当时，不存在与相似. …………………………………… 11分
综上所述，当时，与相似

（1）设，由
得，，即可求得与的周长
（2）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；