Question

4．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，
  ①求菱形的边长；
  ②求折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，再利用AD∥AC得到∠FAC=∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF=OE，加上OA=OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE=BC-CE=8-x，AE=x，在Rt△ABE中，根据勾股定理得（8-x）²+4²=x²，然后解方程即可得到菱形的边长；
②先在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AC=4$\sqrt{5}$，则OA=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理计算出OE=$\sqrt{5}$，所以EF=2OE=2$\sqrt{5}$．

解答 证明：（1）∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=COE}\end{array}\right.$
∴△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）①设菱形的边长为x，则BE=BC-CE=8-x，AE=x，
在Rt△ABE中，∵BE²+AB²=AE²，
∴（8-x）²+4²=x²，解得x=5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
在Rt△AOE中，AE=5，
OE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴EF=2OE=2$\sqrt{5}$．

点评 此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形AECF为菱形和求出菱形的边长是解本题的关键．