如图.抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.点D为抛物线的顶点．(1)求点A.B.C的坐标,为线段AB上一点.过点M作x轴的垂线.与直线AC交于点E.与抛物线交于点P.过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q.过点Q作QN⊥x轴于点N.可得矩形PQNM．如图.点P在点Q左边.试用含m的式子表示矩形PQNM的周长,(3)当矩形PQNM的周长最大时.m的值是多少?� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，抛物线y=-x²-2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2$\sqrt{2}$DQ，求点F的坐标．

分析（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；
（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；
（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；
（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ=DC=$\sqrt{2}$，再建立方程（n+3）-（-n²-2n+3）=4即可．

解答解：
（1）由抛物线y=-x²-2x+3可知，C（0，3）．
令y=0，则0=-x²-2x+3，
解得，x=-3或x=l，
∴A（-3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y=-x²-2x+3可知，对称轴为x=-1．
∵M（m，0），
∴PM=-m²-2m+3，MN=（-m-1）×2=-2m-2，
∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（-m²-2m+3-2m-2）×2=-2m²-8m+2．
（3）∵-2m²-8m+2=-2（m+2）²+10，
∴矩形的周长最大时，m=-2．
∵A（-3，0），C（0，3），
设直线AC的解析式y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得k=l，b=3，
∴解析式y=x+3，
令x=-2，则y=1，
∴E（-2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=$\frac{1}{2}$AM×EM=$\frac{1}{2}$．
（4）∵M（-2，0），抛物线的对称轴为x=-l，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ=DC，
把x=-1代入y=-x²-2x+3，解得y=4，
∴D（-1，4），
∴DQ=DC=$\sqrt{2}$．
∵FG=2$\sqrt{2}$DQ，
∴FG=4．
设F（n，-n²-2n+3），则G（n，n+3），
∵点G在点F的上方且FG=4，
∴（n+3）-（-n²-2n+3）=4．
解得n=-4或n=1，
∴F（-4，-5）或（1，0）．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长．

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	A．	若 a、b、c是△ABC的三边，则a²+b²=c²
	B．	若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a²+b²=c²
	C．	若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a²+b²=c²
	D．	若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a²+b²=c²

	A．	从袋子中摸出1个球，球的颜色是红色
	B．	从袋子中摸出2个球，它们的颜色相同
	C．	从袋子中摸出3个球，有颜色相同的球
	D．	从袋子中摸出4个球，有颜色相同的球

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