Question

在正方形ABCD中，将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，且CF=

1

2

BF，另一边与BA的延长线交于点E，连接EF，与BD交于点M．∠BEF的角平分线交BD于点G，过点G作GH⊥AB于H．在下列结论中：（1）

s△BME

s△BFD

=

7

9

；（2）DG=DF；（3）∠BME=90°；（4）HG+

1

2

EF=AD．正确的个数有（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

分析：利用相似三角形的性质与判定首先求出DW=

5

2

x，进而得出QM=

4

3

x，即可得出S_△BME=

1

2

×MQ×BE=

8

3

x²，S_△BDF=

1

2

×2x×3x=3x²，即可得出①错误，再利用三角形的外角以及正方形的性质得出②正确，进而利用等腰三角形的性质求出其他答案．

解答：解：作MQ⊥AB于点Q，
假设CF=x，则BF=2x，BE=4x，AE=x，
∵AD∥BC，
∴

EA

EB

=

AW

BF

，
∴

x

4x

=

AW

2x

，
∴AW=

x

2

，
∴DW=

5

2

x，
∵AD∥BC，
∴

DW

BF

=

DM

BM

，
∴

5x 2

2x

=

DM

3 2 x-DM

，
解得：DM=

5 2

3

x，
∴BM=

4 2

3

x，
∴QM=

4

3

x，
∴S_△BME=

1

2

×MQ×BE=

8

3

x²，
S_△BDF=

1

2

×2x×3x=3x²，
∴

S△BME

S△BFD

=

8

9

，
∴故（1）

s△BME

s△BFD

=

7

9

错误；

∵在正方形ABCD中，将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，
∴DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵∠BEF的角平分线交BD于点G，
∴∠FEG=∠BEG，
∵∠DEG=∠DEF+∠FEG=45°+∠FEG，
∵∠EGD=∠ABD+∠BEG=45°+∠BEG，
∴∠DEG=∠DGE，
∴ED=DG，
∴DG=DF，故（2）正确；

∵∠MBF+∠MFB=∠BME，
∵∠MBF=45°，
∵BF≠BE，
∴∠BFE≠45°，
∴∠MBF+∠MFB=∠BME≠90°，
故（3）错误；

延长EG到BC于点S，作SZ⊥EF于点Z，
∵CF=

1

2

BF，
∴设FC=x，BF=2x，
∴AB=AD=3x，
∵将∠ADC绕点D顺时针旋转一定角度，使角的一边与BC的交点为点F，
∴可以得出AD=DC，DE=DF，
∠EAD=∠C=90°，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=FC=x，
∴EB=4x，
∴EF=

EB2+FB2

=2

5

x，
∵∠BEF的角平分线交BD于点G，
∴BS=SZ，
sin∠ZFS=

SZ

SF

=

EB

EF

=

4x

2 5 x

，
∴

SZ

BF-BS

=

4x

2 5 x

，
∴

SZ

2x-SZ

=

4

2 5

，
解得：SZ=（4

5

-8）x，
∵HG∥BS，
∴

HG

BS

=

EH

EB

，
∴

HG

(4 5 -8)x

=

4x-HG

4x

，
解得：HG=（3-

5

）x，
∴2HG+EF=（6-2

5

）x+2

5

x=6x，
2AD=6x，
∴2HG+EF=2AD，
∴HG+

1

2

EF=AD，
故（4）正确．
故选C．

点评：此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点，综合性较强难度较大．