题目内容
在?ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，设∠ABC=α，过点C作直线AB的垂线，垂足为点E，连ME．（1）如图①，当α=90°，ME与MC的数量关系是______；∠AEM与∠DME的关系是______；
（2）如图②，当60°＜α＜90°时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当0°＜α＜60°时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系是______；∠AEM与∠DME的关系是______．（直接写出结论即可，不必证明）
【答案】分析：（1）根据α=90°，?ABCD是矩形，又M为AD的中点，所以可以证明△ABM与△DCM是全等三角形，根据全等三角形对应边相等即可得到ME=MC；根据三角形外角性质，∠DME-∠AEB=∠A，再根据两直线平行，同旁内角互补，∠A=180°-α；
（2）点E在线段AB上，过M作MN⊥EC于N，根据M为AD的中点，可得出MN是梯形AECD的中位线，故点N是EC的中点，从而MN是线段EC的垂直平分线，所以ME=MC；先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠A的度数，再根据三角形的外角性质即可得到两角的关系．
（3）点E在线段BA的延长线上，根据（2）的证明求解方法，同理可解．
解答：
（1）ME=MC；∠DME-∠AEM=180°-α．
（2）成立．连CM，过M作MN⊥EC于N，
∵AB⊥CE，MN⊥CE，
∴AB∥MN，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∵M为AD的中点，
∴MN是梯形AECD的中位线，
∴N是CE的中点，
∵CE⊥AB，
∴MN是△MEC的中线，
∴EM=CM（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）；
在△AEM中，∠AEM+∠A=∠DME，
∵AD∥BC，∠ABC=α，
∴∠A=180°-α，
∴∠DME-∠AEM=∠A=180°-α．
（3）EM=MC，∠DME-∠AEM=∠EAM=∠B=α．
点评：本题主要考查平行四边形的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及两直线平行，同旁内角互补的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．
（2）点E在线段AB上，过M作MN⊥EC于N，根据M为AD的中点，可得出MN是梯形AECD的中位线，故点N是EC的中点，从而MN是线段EC的垂直平分线，所以ME=MC；先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠A的度数，再根据三角形的外角性质即可得到两角的关系．
（3）点E在线段BA的延长线上，根据（2）的证明求解方法，同理可解．
解答：
（1）ME=MC；∠DME-∠AEM=180°-α．（2）成立．连CM，过M作MN⊥EC于N，
∵AB⊥CE，MN⊥CE，
∴AB∥MN，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∵M为AD的中点，
∴MN是梯形AECD的中位线，
∴N是CE的中点，
∵CE⊥AB，
∴MN是△MEC的中线，
∴EM=CM（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）；
在△AEM中，∠AEM+∠A=∠DME，
∵AD∥BC，∠ABC=α，
∴∠A=180°-α，
∴∠DME-∠AEM=∠A=180°-α．
（3）EM=MC，∠DME-∠AEM=∠EAM=∠B=α．
点评：本题主要考查平行四边形的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及两直线平行，同旁内角互补的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．
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