题目内容
15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD，将△DEB沿直线DE翻折得到△DEF，点B落在射线BA上的F处．（1）求证：△DEB∽△ACB；
（2）当点F与点A重合时（如图①），求线段BD的长；
（3）设BD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并判断是否存在这样的点D，使AF=FD？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据垂直的定义得到∠DEB=90°，证明∠ACB=∠DEB，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可；
（3）分点F在线段AB上和点F在线段BA的延长线上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
解答 （1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ACB=∠DEB，又∠B=∠B，
∴△DEB∽△ACB；
（2）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
由翻转变换的性质可知，BE=AE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵△DEB∽△ACB，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{BD}{10}$=$\frac{5}{8}$，
解得BD=$\frac{25}{4}$．
答：线段BD的长为$\frac{25}{4}$；
（3）当点F在线段AB上时，如图2，
∵△DEB∽△ACB，
∴$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{BE}{8}$，
解得BE=$\frac{4}{5}$x，
∵BE=EF，
∴AF=AB-2BE，
∴y=-$\frac{8}{5}$x+10；
当点F在线段BA的延长线上时，如图3，
AF=2BE-AB，
∴y=$\frac{8}{5}$x-10，
当点F在线段AB上时，
∵DE⊥AB，BE=EF，
∴DF=DB
要使AF=FD，只要AF=BD即可，即x=-$\frac{8}{5}$x+10，
解得x=$\frac{50}{13}$，
当点F在线段BA的延长线上时，AF=FD不成立，
则当BD=$\frac{50}{13}$时，AF=FD．
点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质以及翻转变换的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理以及翻转变换的性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
名校课堂系列答案
如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，作DE⊥AC，垂足为点E，ED与AB的延长线交于点F．
已知∠AGE=∠DHF，∠1=∠2，则图中的平行线有几对？分别是？为什么？