Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB边上，点E在线段CD上，∠AEB=135°，若AD=4，BD=2，则线段CE的长为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：作△AEB的外接圆⊙O，延长CD交⊙O于点F，连接AO并延长交⊙O于点F'，连接CF'交AB于D'，连接AF，BF，OB，如图．根据圆内接四边形的性质可得∠AFB=45°，根据圆周角定理可得∠AOB=90°，进而可证到四边形ACBO是正方形，然后利用相似三角形的性质可得AB=3BD′．由条件可知AB=3BD，故点D'与点D重合，则点F'与点F重合，因而AF是⊙O的直径，则有AE⊥CF，从而可证到△CEA∽△CAF，就可得到CE=

CA2

CF

，只需利用三角函数及勾股定理就可求出CA、CF进而求出CE．

解答：解：作△AEB的外接圆⊙O，延长CD交⊙O于点F，
连接AO并延长交⊙O于点F'，连接CF'交AB于D'，
连接AF，BF，OB，如图．
∵∠AEB=135°，∴∠AFB=45°，
∴∠AOB=2∠AFB=90°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°．
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠CBO=∠CAO=90°，
∴∠CBO=∠CAO=∠ACB=90°，
∴四边形ACBO是矩形．
∵OA=OB，∴矩形ACBO是正方形，
∴BC∥AO，CA=AO=BC即AF'=2BC．
∴△AF'D'∽△BD'C．
∴

AD′

BD′

=

AF′

BC

=2．
∴AD'=2BD′．
∴AB=3BD′．
∵AD=4，BD=2，∴AB=6=3BD，
∴BD′=BD，
∴点D'与点D重合，
∴点F'与点F重合，
∴AF是⊙O的直径，
∴AE⊥CF，
∴∠CEA=∠CAF=90°．
∵∠ECA=∠ACF，
∴△CEA∽△CAF，
∴

CA

CF

=

CE

CA

，即CE=

CA2

CF

．
∵AD=4，BD=2，∴AB=6，
∴AC=AB•sin45°=6×

2

2

=3

2

，
∴AB=2AC=6

2

，
∴CF=

CA2+AB2

=3

10

，
∴CE=

CA2

CF

=

18

3 10

=

3 10

5

．
故答案为：

3 10

5

．

点评：本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，构造辅助圆是解决本题的关键，运用同一法证到AF是⊙O的直径又是解决本题过程中的一个难点．